Задача 52759

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольник ABC помещены три равных окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Все три окружности имеют одну общую точку. Найдите радиусы этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны r и R.

Подсказка

Треугольник с вершинами в центрах равных окружностей подобен данному, а радиус его описанной окружности равен радиусу этих окружностей.

Решение

  Пусть x – искомый радиус. Обозначим,  BC = a,  ∠A = α,  O₁, O₂, O₃ – центры указанных равных окружностей, вписанных в углы A, B и C соответственно, M – общая точка этих окружностей.
  Поскольку x – радиус описанной окружности треугольника O₁O₂O₃, то  O₂O₃ = 2x sin∠O₂O₁O₃ = 2x sin α,  a = 2R sin α,  sin α = ^a/_2R,  O₂O₃ = ^ax/_R.
  Лучи BO₂ и CO₃ пересекаются в центре O вписанной окружности треугольника ABC. Высоты подобных треугольников OO₂O₃ и OBC, проведённые из общей вершины O, относятся как основания этих треугольников. Поэтому  ^r–x/_r = ^O₂O₃/_a = ^x/_R,  откуда  x = ^rR/_R+r.

Ответ

^rR/_R+r.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	424