Задача 52750

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC с острым углом A, равным 30°, проведена биссектриса BD другого острого угла.
Найдите расстояние между центрами вписанных окружностей треугольников ABD и CBD, если меньший катет равен 1.

Подсказка

Если O₁, O₂ – центры данных окружностей, то  ∠O₁DO₂ = 90°.

Решение

  Пусть O₁ и O – центры указанных вписанных окружностей, P и Q – точки их касания со стороной AC. Тогда     AB = 2,  DP = ½ (AD – AB + BD) = ,   DQ = ½ (DC – CB + DB) = ,

  Поскольку треугольник O₁DO₂ прямоугольный, то  

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	415