Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть m₁(x), ..., m_n(x) – попарно взаимно простые многочлены, a₁(x), ..., a_n(x) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен p(x), что
    p(x) ≡ a₁(x) (mod m₁(x)),
      ...
    p(x) ≡ a_n(x) (mod m_n(x))
и  deg p(x) < deg m₁(x) + ... + deg m_n(x).

   Решение

---

Для любых натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_m, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b₁, b₂, ..., b_m сумма     не равна нулю. Докажите это.

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два треугольника, в каждый из которых вписана окружность. Найдите углы и площадь треугольника, образованного катетами исходного треугольника и прямой, проходящей через центры этих окружностей, если высота исходного треугольника равна h.

Подсказка

Рассмотрите прямоугольник, образованный пересечением прямых, содержащих катеты исходного треугольника, и радиусами окружностей, проведёнными в точки касания с этими катетами.

Решение

Пусть ABC — данный треугольник, C = 90^o, CD — его высота, O₁ и O₂ — центры окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, r₁ и r₂ — их радиусы, P и Q — точки касания со сторонами AC и BC, L и K — со стороной DC, M и N — точки пересечения прямой O₁O₂ со сторонами AC и BC, F — точка пересечения прямых PO₁ и QO₂.

Тогда PCQF — прямоугольник, PF = CQ, QF = CP. Поэтому

Поскольку CK + r₂ = CL + r₁ = CD, то CK - r₁ = CL - r₂. Поэтому FO₁O₂ = 45^o. Следовательно,

Ответ

45^o; 45^o; 90^o; .

Источники и прецеденты использования