Информация о задаче

Задача 52741

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Формула Герона	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются стороны AC в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 3, MD = 2, DN = 2, NC = 4. Найдите стороны треугольника ABC.

Подсказка

Примените формулу Герона или теорему косинусов.

Решение

Поскольку DM = DN, то окружности касаются BD в одной и той же точке. Обозначим её через T. Пусть P и Q — точки касания окружностей со сторонами AB и AC, BP = BT = BQ = x.

По формуле Герона

S_ABD = $\displaystyle \sqrt{(x+5)\cdot x\cdot 2\cdot 3}$ , S_BCD = $\displaystyle \sqrt{(x+6)\cdot x\cdot 2\cdot 4}$ .

С другой стороны, ${\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta BCD}}}$ = ${\frac{AD}{DC}}$ = ${\frac{5}{6}}$ . Из уравнения

$\displaystyle {\frac{\sqrt{(x+5)\cdot x\cdot 2\cdot 3}}{\sqrt{(x+6)\cdot x\cdot 2\cdot 4}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{6}}$

находим, что x = ${\frac{15}{2}}$ . Следовательно,

AB = 3 + x = $\displaystyle {\textstyle\frac{21}{2}}$ , BC = 4 + x = $\displaystyle {\textstyle\frac{23}{2}}$ .

Ответ

AB = ${\frac{21}{2}}$ , BC = ${\frac{23}{2}}$ , AC = 11.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	406