Информация о задаче

Задача 52731

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина каждой касательной равна 12, а расстояние между точками касания равно 14,4. Найдите радиус окружности.

Подсказка

Угол между данной хордой и радиусом, проведённым в точку касания, равен половине угла между касательными.

Решение

Пусть A — данная точка, B и C — точки касания, O — центр окружности. Поскольку прямая OA перпендикулярна отрезку BC и проходит через его середину M, то

$\displaystyle \angle$ OCB = $\displaystyle \angle$ OAC, sin $\displaystyle \angle$ OAC = $\displaystyle {\frac{CM}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{7,2}{12}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ .

Поэтому cos $\angle$ OAC = ${\frac{4}{5}}$ . Из треугольника OCM находим, что

OC = $\displaystyle {\frac{CM}{\cos \angle OCM}}$ = 9.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	396