Информация о задаче

Задача 52697

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дана окружность и точка A вне её; AB и AC — касательные к окружности (B и C — точки касания). Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC, лежит на данной окружности.

Подсказка

Докажите, что середина меньшей дуги BC — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение

Пусть M — середина меньшей дуги BC. Докажем, что M — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Действительно, AM — биссектриса угла A. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

$\displaystyle \angle$ MBA = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ MB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ MC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \cup$ MBC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ ABC,

Значит, BM — также биссектриса треугольника ABC. Следовательно, M — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, т.е. центр его вписанной окружности.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	362