Задача 52678

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Площадь трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Средняя линия равнобедренной трапеции равна $5$. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно $\frac{7}{13}$. Найдите высоту трапеции.

Подсказка

Решите систему уравнений с двумя неизвестными — длинами оснований трапеции.

Решение

Пусть $x$ и $y$ — основания трапеции. Тогда $$ \left \{ \begin{array}{lll} x+y= 10\\ \frac{x+5}{y+5} = \frac{7}{13}.\\ \end{array} \right. $$ Отсюда находим, что $x = 2$ и $y = 8$. Следовательно, боковая сторона трапеции равна $(2+8):2 = 5$.

Опустим высоту из вершины верхнего основания на нижнее и найдём её по теореме Пифагора.

Ответ

$4$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	343