Задача 52643

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника.

Подсказка

Выразите катеты через радиус вписанной окружности и воспользуйтесь теоремой Пифагора.

Решение

Обозначим радиус вписанной окружности через r. Тогда катеты треугольника равны  5 + r  и  12 + r.  По теореме Пифагора  (5 + r)² + (12 + r)² = 17²,  откуда
r = 3.

Ответ

8 и 15.

Замечания

То же уравнение можно получить из двух способов найти площадь треугольника:  (5 + r)(12 + r) = r((5 + r) + (12 + r) + 17).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	308