Информация о задаче

Задача 52589

Темы:	[	Диаметр, основные свойства	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольнике ABCD углы B и D — прямые. Диагональ AC образует со стороной AB острый угол в 40^o, а со стороной AD -- угол в 30^o. Найдите острый угол между диагоналями AC и BD.

Подсказка

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых на окружности этими хордами.

Решение

Точки A, B, C и D лежат на окружности с диаметром AC. Поэтому

$\displaystyle \cup$ AB = 2 $\displaystyle \angle$ ACB = 2(90^o - $\displaystyle \angle$ CAB) = 2(90^o - 40^o) = 100^o,

$\displaystyle \cup$ DC = 2 $\displaystyle \angle$ DAC = 60^o.

Если O — точка пересечения диагоналей, то

$\displaystyle \angle$ AOB = $\displaystyle {\frac{\cup AB + \cup DC}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{160^{\circ}}{2}}$ = 80^o.

Ответ

80^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	254