Задача 52455

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность и прямая касаются в точке M. Из точек A и B этой окружности опущены перпендикуляры на прямую, равные a и b соответственно. Найдите расстояние от точки M до прямой AB.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Если прямая AB параллельна касательной, то всё очевидно.

Пусть указанная касательная и прямая AB пересекаются в точке K под углом , а x — искомый отрезок. Тогда

sin = = = .

Перемножив почленно равенства

= ,  = ,

получим:

= .

Поскольку AK ^. BK = MK², то x² = ab. Следовательно, x = .

Если прямая AB параллельна касательной, то всё очевидно.

Пусть указанная касательная и прямая AB пересекаются в точке K под углом , а x — искомый отрезок. Тогда

sin = = = .

Перемножив почленно равенства

= ,  = ,

получим:

= .

Поскольку AK ^. BK = MK², то x² = ab. Следовательно, x = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	117