ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52455
Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность и прямая касаются в точке M. Из точек A и B этой окружности опущены перпендикуляры на прямую, равные a и b соответственно. Найдите расстояние от точки M до прямой AB.


Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.


Решение

Если прямая AB параллельна касательной, то всё очевидно.

Пусть указанная касательная и прямая AB пересекаются в точке K под углом $ \alpha$, а x — искомый отрезок. Тогда

sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{b}{BK}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{MK}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{AK}}$.

Перемножив почленно равенства

$\displaystyle {\frac{a}{AK}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{MK}}$$\displaystyle {\frac{b}{BK}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{MK}}$,

получим:

$\displaystyle {\frac{ab}{AK\cdot BK}}$ = $\displaystyle {\frac{x^{2}}{MK^{2}}}$.

Поскольку AK . BK = MK2, то x2 = ab. Следовательно, x = $ \sqrt{ab}$.

Если прямая AB параллельна касательной, то всё очевидно.

Пусть указанная касательная и прямая AB пересекаются в точке K под углом $ \alpha$, а x — искомый отрезок. Тогда

sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{b}{BK}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{MK}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{AK}}$.

Перемножив почленно равенства

$\displaystyle {\frac{a}{AK}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{MK}}$$\displaystyle {\frac{b}{BK}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{MK}}$,

получим:

$\displaystyle {\frac{ab}{AK\cdot BK}}$ = $\displaystyle {\frac{x^{2}}{MK^{2}}}$.

Поскольку AK . BK = MK2, то x2 = ab. Следовательно, x = $ \sqrt{ab}$.


Ответ

$ \sqrt{ab}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 117

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .