ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52449
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Медианы AM и BE треугольника ABC пересекаются в точке O. Точки O, M, E, C лежат на одной окружности. Найдите AB, если BE = AM = 3.


Подсказка

Докажите, что треугольник ABC — равносторонний.


Решение

Поскольку OE = $ {\frac{1}{3}}$BE и OM = $ {\frac{1}{3}}$AM, то OE = OM. Поэтому CO — биссектриса угла ECM.

Из равенства медиан BE и AM следует, что треугольник ABC -- равнобедренный. Поэтому EC = CM. Тогда треугольники CEO и CMO равны, а т.к.

$\displaystyle \angle$CEO + $\displaystyle \angle$CMO = 180o,

то

$\displaystyle \angle$CEO = $\displaystyle \angle$CMO = 90o,

т.е. медианы AM и BE являются высотами. Поэтому треугольник ABC — равносторонний. Следовательно,

AB = $\displaystyle {\frac{AM}{\sin 60^{\circ}}}$ = 2$\displaystyle \sqrt{3}$.


Ответ

2$ \sqrt{3}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 111

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .