Информация о задаче

Задача 52447

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC угол B — прямой, а AB = BC = 2. Окружность касается обоих катетов в их серединах и высекает на гипотенузе хорду DE. Найдите площадь треугольника BDE.

Решение

Пусть точка E лежит между точками D и C. Обозначим DE = x; P — точка касания окружности с катетом BC.

Поскольку CD^.CE = CP², то

$\displaystyle \left(\vphantom{\sqrt{2} + \frac{x}{2}}\right.$ $\displaystyle \sqrt{2}$ + $\displaystyle {\frac{x}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{2} + \frac{x}{2}}\right)$ $\displaystyle \left(\vphantom{\sqrt{2} - \frac{x}{2}}\right.$ $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle {\frac{x}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{2} - \frac{x}{2}}\right)$ = 1.

Отсюда находим, что x = ${\frac{1}{2}}$ . Следовательно,

S_BDE = $\displaystyle {\frac{DE}{AC}}$ S_ABC = $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Ответ

$\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	109