Задача 52415

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Теорема синусов ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C проведены высоты AP и CQ. Найдите сторону AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 15, периметр треугольника BPQ равен 9, а радиус описанной окружности треугольника BPQ равен ⁹/₅.

Решение

Треугольник PBQ подобен треугольнику ABC с коэффициентом  cos∠B,  а так как отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия, то  cos∠B = ³/₅.  Пусть R – радиус описанной окружности треугольника ABC, тогда  R = ⁵/₃·⁹/₅ = 3.  Следовательно,  AC = 2R sin∠B = 2·3·⁴/₅ = ²⁴/₅.

Ответ

4,8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	77