Информация о задаче

Задача 52411

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Около треугольника ABC описана окружность. Медиана AD продолжена до пересечения с этой окружностью в точке E. Известно, что AB + AD = DE, $\angle$ BAD = 60^o, AE = 6. Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

На продолжении отрезка EA за точку A отложите отрезок AB₁, равный AB. Четырёхугольник B₁BEC — параллелограмм.

Решение

На продолжении отрезка EA за точку A отложим отрезок AB₁, равный AB. Тогда

B₁D = B₁A + AD = BA + AD = DE.

Следовательно, четырёхугольник B₁BEC — параллелограмм. Тогда

$\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \angle$ B₁EC = $\displaystyle \angle$ BB₁A = 30^o, $\displaystyle \angle$ ADB = 90^o,

поэтому AE — диаметр окружности,

$\displaystyle \angle$ ABE = 90^o, AC = AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AE = 3.

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.AC sin $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.3^.3 sin 120^o = $\displaystyle {\frac{9\sqrt{3}}{4}}$ .

Ответ

${\frac{9\sqrt{3}}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	73