Информация о задаче

Задача 52396

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках M и N. Пусть P — точка пересечения прямой MN и биссектрисы угла B (или её продолжения). Докажите, что $\angle$ BPC = 90^o.

Подсказка

Точки N, P, C и центр O вписанной окружности лежат на окружности с диаметром OC.

Решение

Пусть O — центр вписанной окружности; $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ -- углы треугольника при вершинах A, B, C соответственно. Тогда в треугольнике MPB известно, что

$\displaystyle \angle$ PBM = $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ , $\displaystyle \angle$ BMP = 90^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Поэтому

$\displaystyle \angle$ MPB = 180^o - $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ - $\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}}\right.$ 90^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}}\right)$ = 90^o - $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ .

Следовательно, отрезок ON виден из точек P и C под одним углом. Значит, точки O, N, P и C лежат на одной окружности, а т.к. ON $\perp$ AC, то OC — диаметр этой окружности. Следовательно, $\angle$ BPC = $\angle$ OPC = 90^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	58