Информация о задаче

Задача 52371

Темы:	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Продолжения биссектрис остроугольного треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Докажите, что высоты треугольника A₁B₁C₁ лежат на прямых AA₁, BB₁иCC₁.

Подсказка

Угол между хордами BB₁ и C₁A₁ равен полусумме дуг BA₁ и C₁AB₁.

Решение

Обозначим $\angle$ BAC = $\alpha$ , ABC = $\beta$ , $\angle$ ACB = $\gamma$ .

Угол между хордами BB₁ и C₁A₁ равен полусумме дуг BA₁ и C₁AB₁. Поскольку

$\displaystyle \cup$ BA₁ = 2 $\displaystyle \angle$ BAA₁ = $\displaystyle \alpha$ ,

$\displaystyle \cup$ C₁AB₁ = $\displaystyle \cup$ C₁A + $\displaystyle \cup$ AB₁ = 2 $\displaystyle \angle$ ACC₁ + 2 $\displaystyle \angle$ ABB₁ = $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \beta$ ,

то

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \cup$ BA₁ + $\displaystyle \cup$ C₁AB₁) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.180^o = 90^o.

Следовательно, BB₁ $\perp$ C₁A₁.

Остальное аналогично.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	33