ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52350
Темы:    [ ГМТ и вписанный угол ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.


Решение

Пусть AB — данный отрезок, а данный угол равен $ \alpha$. Построим два треугольника ABC и ABC' так, чтобы точки C и C' лежали по разные стороны от прямой AB и $ \angle$ACB = $ \angle$AC'B = $ \alpha$. Опишем окружности около этих треугольников. Докажем, что искомое геометрическое место точек — это две дуги построенных окружностей: дуга AB описанной окружности треугольника ABC, содержащая точку C, и дуга AB описанной окружности треугольника ABC', содержащая точку C'.

Если точка M, отличная от A и B, лежит на первой из этих дуг, то по теореме о вписаных углах, опирающихся на одну и ту же дугу

$\displaystyle \angle$AMB = $\displaystyle \angle$ACB = $\displaystyle \alpha$.

Аналогично, для точки, лежащей на второй дуге.

Обратно, пусть точка N такова, что $ \angle$ANB = $ \alpha$. Преположим, что при этом точки N и C лежат по одну сторону от прямой AB. Докажем, что точка N лежит на первой из построенных дуг. Допустим, что это не так. Если точка N расположена внутри окружности, то продолжив отрезок AN за точку N, получим точку K пересечения луча AN с окружностью. Тогда

$\displaystyle \angle$AKB = $\displaystyle \angle$ACB = $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \angle$ANB,

что невозможно, т.к. ANB — внешний угол треугольника BKN, а тогда

$\displaystyle \angle$ANB = $\displaystyle \angle$AKB + $\displaystyle \angle$KBN > $\displaystyle \angle$AKB.

Аналогично для случая, когда точка N лежит вне окружности.

Если точки N и C лежат по разные стороны от прямой AB, то рассуждая аналогично, докажем что точка N лежит на второй из построенных дуг.

Таким образом, мы доказали, что из каждой точки построенных дуг (кроме A и B) отрезок AB виден под углом $ \alpha$, и обратно, если из какой-то точки отрезок AB виден под углом $ \alpha$, то эта точка лежит на одной из построенных дуг.


Ответ

Дуги двух равных окружностей c общей хордой (без концов этой хорды).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 12

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .