Условие
Если повернуть многоугольник вокруг некоторой точки на 70 градусов, то он совместится сам с собой.
Какое наименьшее число вершин может быть у такого многоугольника?
Подсказка
Многоугольник совместится сам с собой при поворотах на углы в 70, 2*70, 3*70,... градусов.
Решение
Ясно, что правильный 36-угольник переходит в себя при повороте на угол 10
0
вокруг его центра. Следовательно, он
переходит в себя и при повороте на угол 70
0
вокруг его центра.
Покажем, что многоугольник, о котором идет речь в условии, не может иметь
меньше 36 вершин.
Рассмотрим одну из его вершин A
0. Пусть мы совершили поворот на угол в 70
0
вокруг точки O. Многоугольник самосовместился, а вершина A
0 перешла в некоторую вершину
A
1 (при повороте вершина переходит в вершину!). Поскольку угол поворота не кратен 360
градусам, A
1 будет отлична от A
0.
Далее, повернем многоугольник на 2*70
0, 3*70
0,
4*70
0, ... , 35*70A
0, он снова будет самосовмещаться.
При этом вершина
A переходит в вершины A
2, A
3, ... , A
35.
Никакие две из вершин A
0, A
1, ... , A
35 не
будут совпадать, так как любая пара из этих вершин совмещается поворотом вокруг точки O
на угол, не кратный 360
0.
Ответ
36.00
Источники и прецеденты использования
