ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35774
Тема:    [ Тригонометрические неравенства ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
 В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите наибольшее значение выражения $\sin x \sin y \sin z + \cos x \cos y \cos z$.

Подсказка

Каково наибольшее значение выражения $\sin x \sin y + \cos x \cos y $?

Решение

При $x=y=z=0$ выражение $\sin x \sin y \sin z + \cos x \cos y \cos z$ равно 1. Покажем, что значение, превышающее 1, приниматься не может. Выражение $\sin x \sin y \sin z + \cos x \cos y \cos z$ не превосходит $|\sin x| |\sin y | + |\cos x | |\cos y|.$ Найдутся углы $x', y'$ из отрезка $[0, \pi /2]$ такие, что $\sin x' = |\sin x|$ и $\sin y' = |\sin y|$. Тогда $|\sin x| |\sin y | + |\cos x | |\cos y| = \sin x' \sin y' + \cos x' \cos y' = \cos(x'-y')$, что, очевидно, не превосходит 1.

Ответ

1.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .