Задача 35747

Темы:    [ Гомотетия и поворотная гомотетия (прочее) ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что графики функций  y = x²  и  y = 2x²  являются подобными фигурами.

Подсказка

Эти графики совмещаются гомотетией с центром в начале координат.

Решение 1

Пусть точка  (a, b)  лежит на параболе  y = 2x²,  то есть  b = 2a².  Тогда  2b = (2a)².  Это означает, что точка  (2a, 2b)  лежит на параболе  y = x².  Таким образом, парабола  y = x²  получается из параболы  y = 2x²  гомотетией с коэффициентом 2 и центром в начале координат. (Нетрудно видеть, что соответствие взаимно однозначно.)

Решение 2

Гомотетия с коэффициентом ½ и центром в начале координат есть композиция сжатий в два раза по обеим осям. Значит, она превращает график функции f(x) в график функции ½ f(2x). В частности, из графика функции  y = x²  получится график функции  y = 2x².

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача