Задача 35663

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

В клетках квадратной таблицы 10×10 расставлены числа от 1 до 100. Пусть S₁, S₂, ..., S₁₀ – суммы чисел, стоящих в столбцах таблицы.
Могло ли оказаться так, что среди чисел S₁, S₂, ..., S₁₀ каждые два соседних различаются на 1?

Подсказка

Если бы условие выполнялось, то в последовательности S₁, S₂, ..., S₁₀ чётные и нечётные числа строго чередовались бы.

Решение

Если S_i и S_i+1 различаются на 1, то эти два числа имеют разную чётность, то есть в последовательности S₁, S₂, ..., S₁₀ чётные и нечётные числа строго чередуются. Значит, среди чисел S₁, ..., S₁₀ ровно пять чётных и пять нечётных. Отсюда следует, что сумма  S₁ + ... + S₁₀  нечётна. С другой стороны,
S₁ + ... + S₁₀ = 1 + 2 + ... + 100,  а в этой сумме 50 нечётных слагаемых, поэтому она чётна. Противоречие.

Ответ

Не могло.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача