Информация о задаче

Задача 35647

Тема:

[

Прямоугольные треугольники (прочее)

]

Сложность: 2+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

В график функции, симметричной относительно оси ординат, вписана "ёлочка" высотой 1. Известно, что "ветки" ёлочки составляют угол 45⁰ с вертикалью. Найдите периметр ёлочки (т.е. сумму длин всех зеленых отрезков).

Подсказка

Ёлочка состоит из подобных равнобедренных прямоугольных треугольников, сумма катетов которых известна.

Решение

Посчитаем сначала сумм длин всех зеленых отрезков, лежащих слева от оси y. Левая половина ёлочки состоит из нескольких подобных треугольников с углами 45⁰, 45⁰, 90⁰. Сумма катетов этих треугольников равна высоте ёлочки, т.е. равна 1. Таким образом, сумма зеленых катетов также равна 1, а сумма зеленых гипотенуз в $\sqrt 2$ раз больше (поскольку в каждом из треугольников гипотенуза в $\sqrt 2$ раз больше катета). Итак, сумма зеленых отрезков для половины ёлочки равна $1+\sqrt 2$ , поэтому периметр ёлочки равен $2(1+\sqrt 2)$ .

Ответ

$2(1+\sqrt 2)$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
задача