ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35641
Темы:    [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]
[ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли три различных действительных числа, каждое из которых в сумме с произведением двух оставшихся дает одно и то же число?


Подсказка

Можно показать, что такие числа являются корнями одного и того же квадратного трёхчлена.


Решение 1

Пусть a, b, c – такие числа, что  a + bc = b + ca = c + ab = p.  Тогда  a² + abc = pa,  b² + abc = pb,  c² + abc = pc.  Обозначая  abc = q,  получаем, что числа a, b, c являются корнями квадратного уравнения  x² – px + q = 0.  Поскольку у квадратного уравнения имеется не более двух различных корней, то по крайней мере два из чисел a, b, c должны совпадать.


Решение 2

Пусть  a ≠ b  и  a + bc = b + ca.  Тогда  a – b = c(a – b),  то есть  c = 1.  Если, кроме этого,  a + bc = с + ab,  то, аналогично,  a = c  или  b = 1.  В любом случае два из трёх чисел равны.


Ответ

Не существуют.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .