|
|
 |
Условие
Существуют ли три различных действительных числа, каждое из которых в сумме с произведением двух оставшихся дает одно и то же число?
Подсказка
Можно показать, что такие числа являются корнями одного и того же квадратного трёхчлена.
Решение 1
Пусть a, b, c – такие числа, что a + bc = b + ca = c + ab = p. Тогда a² + abc = pa, b² + abc = pb, c² + abc = pc. Обозначая abc = q, получаем, что числа a, b, c являются корнями квадратного уравнения x² – px + q = 0. Поскольку у квадратного уравнения имеется не более двух различных корней, то по крайней мере два из чисел a, b, c должны совпадать.
Решение 2
Пусть a ≠ b и a + bc = b + ca. Тогда a – b = c(a – b), то есть c = 1. Если, кроме этого, a + bc = с + ab, то, аналогично, a = c или b = 1. В любом случае два из трёх чисел равны.
Ответ
Не существуют.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
