Пять братьев. Один из пяти братьев испек маме пирог. Андрей сказал: «Это Витя или Толя». Витя сказал: «Это сделал не я и не Юра». Толя сказал: «Вы оба шутите». Дима сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой — нет». Юра сказал: «Нет, Дима, ты не прав». Мама знает, что трое из ее сыновей всегда говорят правду. Кто испек пирог?

   Решение

Тема:    [ Комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В мешке изюма содержится 2001 изюминка общим весом 1001 г, причём ни одна изюминка не весит больше 1,002 г.
Докажите, что весь изюм можно разложить на две чаши весов так, чтобы они показали разность, не превосходящую 1 г.

Подсказка

Набирайте на одной чаше самые тяжелые изюминки, пока чаша не станет весить больше 500 г.

Решение

  Возьмём 500 самых тяжелых изюминок и положим их на левую чашу весов. Вес этих 500 изюминок не больше  500·1,002 = 501 г.  Рассмотрим два случая.
  1) Самая легкая из этих изюминок весит больше 1 г. Тогда суммарный вес изюминок на левой чаше будет больше 500 г. Положим оставшиеся изюминки на правую чашу весов. Их общий вес не меньше  1001 – 501 = 500 г.,  но не больше веса изюминок на левой чаше. Значит, разница между весами на двух чашах будет не больше 1 г.
  2) Cамая лёгкая из этих изюминок весит не больше 1 г. Тогда, если нужно, будем подкладывать по одной изюминке на левую чашу, пока её вес не станет больше 500 г. Поскольку мы докладывали изюминки весом не больше 1 г., то суммарный вес изюминок на левой чаше будет не больше 501 г. Положим оставшиеся изюминки на правую чашу, и так же, как и в первом случае, получим, что разность между весами чаш не будет превосходить 1 г.

Источники и прецеденты использования