Информация о задаче

Задача 35621

Темы:	[	Вычисление интегралов	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]

Сложность: 4-
Классы: 11

Прислать комментарий

Условие

Вычислите $\int_0^{\pi /2}(\sin ^2 (\sin x)+ \cos^2(\cos x)) dx$ .

Подсказка

Преобразуйте подынтегральное выражение с помощью формулы приведения $\sin x =\cos (\pi/2 - x)$ и основного тригонометрического тождества $\sin ^2 x + \cos ^2 x =1$ .

Решение

Запишем: $\int_0^{\pi /2}(\sin ^2 (\sin x)+ \cos^2(\cos x)) dx =$ $\int_0^{\pi /2}(\sin ^2 (\sin x)+ 1 - \sin^2(\sin (\pi / 2 - x)) dx .$ Но $\int_0^{\pi /2}f(x) dx = \int_0^{\pi /2}f(\pi/2 - x)dx,$ так как графики функций и $f(\pi / 2 -x)$ симметричны относительно прямой $x= \pi /4$ , и интегралы от этих функций на промежутке от 0 до $\pi /2$ будут равны. Таким образом, искомый интеграл равен $\pi / 2$ .

Ответ

$\pi / 2$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
задача


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	60
Год	1997
вариант
Класс	11
задача
Номер	2