Задача 35588

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что n! не делится на 2ⁿ.

Подсказка

С каким показателем входит простой множитель 2 в разложение числа n! на простые множители?

Решение

Из чисел от 1 до n каждое второе делится на 2, то есть добавляет множитель 2 в разложение числа n! на простые множители. Таких чисел  [ⁿ/₂].  Кроме того, каждое четвёртое число делится на  4 = 2²,  то есть добавляет еще одну двойку в разложение числа n!. Таких чисел  [ⁿ/₄].  Каждое восьмое число добавляет еще одну двойку и т.д. Таким образом, простой множитель 2 входит в разложение числа n! на простые множители с показателем, равным
[ⁿ/₂] + [ⁿ/₄] + ... + [ⁿ/_2^k] + ... < ⁿ/₂ + ⁿ/₄ + ... + ⁿ/_2^k + ... = n  (мы воспользовались формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии). Таким образом, двойка входит в разложение числа n! на простые множители с показателем, меньшим n.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача