Задача 35513

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Показательные неравенства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что для любого натурального n в десятичной записи чисел 2002ⁿ и  2002ⁿ + 2ⁿ  одинаковое число цифр.

Подсказка

Двойное неравенство  10^k–1 < A < 10^k  означает, что десятичная запись натурального числа A состоит из k цифр.

Решение

Поскольку число 2002ⁿ не является степенью числа 10, то для некоторого k выполнено двойное неравенство  10^k–1 < 2002ⁿ < 10^k,  которое означает, что в числе 2002ⁿ  k цифр. При этом очевидно, что  k > n,  поэтому оба числа 2002ⁿ и 10^k делятся на 2ⁿ. Рассмотрим следующее за 2002ⁿ число, кратное 2ⁿ – это число  2002ⁿ + 2ⁿ.  Из предыдущих рассуждений следует, что  2002ⁿ + 2ⁿ  не превосходит 10^k. Если  2002ⁿ + 2ⁿ < 10^k,  то  2002ⁿ + 2ⁿ  имеет в десятичной записи k цифр. Осталось показать, что равенство
2002ⁿ + 2ⁿ = 10^k  невозможно. Разделив обе части равенства на 2ⁿ, получим  1001ⁿ + 1 = 5^k·2^k–n.  Правая часть делится на 5, а левая – нет, следовательно, равенство невозможно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача