ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35509
Темы:    [ Экстремальные свойства (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четыре села находятся в вершинах квадрата со стороной 1 км. Для того, чтобы можно было проехать из каждого села в каждое, проложили две прямолинейные дороги вдоль диагоналей данного квадрата. Можно ли проложить сеть дорог между селами иным образом так, чтобы их суммарная длина уменьшилась, но по-прежнему из каждого села можно было проехать в каждое?


Подсказка

Попробуйте найти сеть дорог, состоящую из пяти прямолинейных участков.


Решение

Обозначим через A, B, C, D села, являющиеся вершинами квадрата. На отрезке, соединяющем середины сторон AB и CD, возьмём точки M и N, отстоящие от сторон AB и CD на 3/8. Тогда  AM = BM = CN = DN = 5/8MN = 1/4.  Таким образом, длина новой сети дорог равна 2,75, а длина старой сети равна  


Ответ

Можно.

Замечания

На самом деле годятся любые точки M и N на указанной средней линии, отстоящие от AB и CD на расстояния, не меньшие   .   Самая короткая сеть дорог получается, когда эти расстояния равны   ,   то есть когда  ∠AMB = ∠CND = 120°.  Это следует из задачи 116106.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .