Условие
На плоскости нарисованы два квадрата - ABCD и KLMN
(их вершины перечислены против часовой стрелки).
Докажите, что середины отрезков AK, BL, CM, DN также
являются вершинами квадрата.
Подсказка
Выразите векторы, задающие стороны "серединного"
квадрата через векторы, задающие стороны исходных
квадратов.
Решение
Пусть точки P, Q, R, S - середины отрезков AK, BL, CM, DN
соответственно.
Запишем следующие векторные равенства:
PQ=PA+AB+BQ;
PQ=PK+KL+LQ.
Сложим эти равенства; учитывая то, что векторы
PA и PK, а также векторы BQ и LQ взаимно обратны, получаем,
что 2PQ=AB+KL, или
PQ=(AB+KL)/2.
Аналогичным образом можно получить, что
QR=(BC+LM)/2.
Вектор BC получается из вектора AB поворотом на 90
0,
и таким же образом вектор
LM получается из вектора KL поворотом на 90
0.
Поэтому из приведенных выше равенств следует, что
вектор QR получается из вектора PQ
поворотом на 90
0.
Это означает, что в четырехугольнике PQRS стороны PQ и QR
равны и перпендикулярны. Проведя аналогичные рассуждения,
доказываем, что в четырехугольнике PQRS
любые две соседние стороны равны и перпендикулярны, т.е
четырехугольник PQRS - квадрат.
Источники и прецеденты использования
