Информация о задаче

Задача 35469

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите наибольший член последовательности $x_n = \frac{n-1}{n^2+1}$ .

Подсказка

Сравните два соседних члена последовательности.

Решение

Сравним два соседних члена последовательности. Для этого запишем разность $x_{n+1}-x_n = \frac{n}{(n+1)^2+1}-\frac{n-1}{n^2+1}$ . После тождественных преобразований получаем: $x_{n+1}-x_n = - \frac{n^2-n-2}{((n+1)^2+1)(n^2+1)} = - \frac{(n-2)(n+1)}{((n+1)^2+1)(n^2+1)}$ . Таким образом, разность $x_{n+1}-x_n$ больше 0 при $n=1$ , равна 0 при , и меньше 0 при $n\ge 3$ . Следовательно, $x_1\lt x_2=x_3\gt x_4\gt x_5\gt ...$ , и - наибольшие члены данной последовательности.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
задача