ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35469
Темы:    [ Последовательности (прочее) ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите наибольший член последовательности $x_n = \frac{n-1}{n^2+1}$.

Подсказка

Сравните два соседних члена последовательности.

Решение

Сравним два соседних члена последовательности. Для этого запишем разность $x_{n+1}-x_n = \frac{n}{(n+1)^2+1}-\frac{n-1}{n^2+1}$. После тождественных преобразований получаем: $x_{n+1}-x_n = - \frac{n^2-n-2}{((n+1)^2+1)(n^2+1)} = - \frac{(n-2)(n+1)}{((n+1)^2+1)(n^2+1)} $. Таким образом, разность $x_{n+1}-x_n$ больше 0 при $n=1$, равна 0 при $n=2$, и меньше 0 при $n\ge 3$. Следовательно, $x_1\lt x_2=x_3\gt x_4\gt x_5\gt ...$, и $x_2=x_3=0,2$ - наибольшие члены данной последовательности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .