Задача 35455

Темы:    [ Произведения и факториалы ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Условие

Докажите, что число 100! не является полным квадратом.

Подсказка

Если число – полный квадрат, то каждое простое число входит в разложение этого числа на простые множители в чётной степени.

Решение

Если бы число 100! было полным квадратом, то каждое простое число входило бы в разложение этого числа на простые множители в чётной степени. Однако в произведении  1·2·...·97·98·99·100 = 100!  есть только одно число, делящееся на простое число 97 (само число 97). Поэтому число 97 входит в разложение числа 100! на простые множители в первой степени.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача