Условие
От пирога, имеющего форму выпуклого многоугольника, разрешается
отрезать треугольный кусок ABC, где A - некоторая вершина, а B и C
- точки, лежащие строго внутри сторон, имеющих вершину A.
Вначале пирог имеет форму квадрата. В центре этого квадрата
расположена изюминка. Докажите, что ни на каком шаге от пирога
нельзя отрезать кусок, содержащий изюминку.
Подсказка
Кусок пирога всегда имеет стороны, принадлежащие сторонам
исходного квадратного пирога.
Решение
Операция отрезания устроена таким образом, что после отрезания
две стороны многоугольника укорачиваются, а также появляется новая
сторона. Таким образом, никакая сторона не отрезается полностью.
Значит, после любого числа отрезаний
кусок пирога всегда имеет четыре стороны, принадлежащие сторонам
исходного квадратного пирога.
Пусть некоторая прямая l на некотором шаге отрезала кусок,
содержащий изюминку - центр квадрата.
Тогда, как нетрудно видеть, в отрезанной части окажется целиком
одна из сторон исходного квадрата (см. картинку).
Мы получили противоречие, которое показывает, что отрезать кусок с
изюминкой невозможно.
Источники и прецеденты использования
