Условие
В пространстве даны три равных отрезка. Докажите, что найдется
плоскость такая, что проекции данных отрезков на нее равны.
Подсказка
Возьмите вместо отрезков векторы и отложите их от одной точки.
Решение
Возьмем в пространстве некоторую точку O и совместим по одному концу
каждого отрезка с этой точкой.
Получим три равных отрезка OA, OB, OC.
Возьмем плоскость П, проходящую через точки A, B, C
(таких плоскостей может быть несколько).
Покажем, что проекции отрезков OA, OB, OC на плоскость П равны.
Действительно, если длина каждого из отрезков
OA, OB, OC равна x, а расстояние от точки O до плоскости П равно
h, то длина проекции каждого из отрезков OA, OB, OC по
теореме Пифагора равна
(a
2-h
2)
1/2.
Тем самым, утверждение задачи доказано.
Источники и прецеденты использования
