Задача 35410

Темы:    [ Комбинаторика (прочее) ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

По окружности выписано 10 чисел, сумма которых равна 100. Известно, что сумма каждых трёх чисел, стоящих рядом, не меньше 29.
Укажите такое наименьшее число А, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превосходит А.

Подсказка

Каждое число из данного набора чисел дополняется до 100 тремя тройками "соседей".

Решение

  Пусть X – наибольшее из чисел. Оставшиеся числа разобьём на три тройки "соседей". Сумма чисел в каждой такой тройке не меньше 29, следовательно,
X ≤ 100 – 3·29 = 13.
  Пример набора с максимальным числом 13:  13, 9, 10, 10, 9, 10, 10, 9, 10, 10.

Ответ

A = 13.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача