Задача 35408

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что в любой арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, найдутся два члена с одинаковой суммой цифр.

Подсказка

Для достаточно больших чисел m члены прогрессии с номерами  10^m + 1  будут иметь одинаковую сумму цифр.

Решение

Пусть a – первый член прогрессии, состоящий из k цифр, d – разность прогрессии. Рассмотрим член прогрессии с номером  10^m + 1,  где  m > k.  Он равен  10^md + a.  Десятичная запись этого числа выглядит так: вначале записана десятичная запись числа d, затем несколько нулей и в конце – десятичная запись числа a. Таким образом, при всех  m > k  сумма цифр членов с номерами  10^m + 1  одинакова и равна сумме сумм цифр чисел d и a.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача