Задача 35355

Темы:    [ Формула включения-исключения ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Условие

Антон, Артем и Вера решили вместе 100 задач по математике. Каждый из них решил 60 задач. Назовем задачу трудной, если ее решил только один человек, и легкой, если ее решили все трое. Насколько отличается количество трудных задач от количества легких?

Подсказка

Нарисуйте пересекающиеся круги, где каждый круг обозначает множество задач, решенных одним из друзей.

Решение

Пусть S₁ - число задач, решенных только Антоном, S₂ - число задач, решенных только Артемом, S₃ - число задач, решенных только Верой, S₁₂ - число задач, решенных только Антоном и Артемом, и так далее. Тогда Антон решил S₁+S₁₂+S₁₃+S₁₂₃ = 60 задач, Артем решил S₂+S₁₂+S₂₃+S₁₂₃ = 60 задач, Вера решила S₃+S₁₃+S₂₃+S₁₂₃ = 60 задач. Общее число задач : S₁+S₂+S₃+S₁₂+ S₁₃+S₂₃+S₁₂₃=100. Сложим первые три равенства и вычтем последнее, умноженное на 2. Получим:

-S₁-S₂-S₃+S₁₂₃=-20

Это значит, что трудных задач на 20 больше, чем легких, потому что S₁+S₂+S₃ - число трудных задач, а S₁₂₃ - число легких.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача