ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35278
Тема:    [ Рекуррентные соотношения ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дорожно-ремонтная организация "Тише едешь - дальше будешь" занимается укладкой асфальта. Организация взяла обязательство покрыть асфальтом 100-километровый участок дороги. В первый день был заасфальтирован 1 км дороги. Далее, если уже заасфальтировано x км дороги, то в следующий день организация покрывает асфальтом еще 1/x км дороги. Докажите, что все же наступит тот день, когда организация "Тише едешь - дальше будешь" выполнит свое обязательство.

Подсказка

Проследите, как с каждым днем меняется квадрат числа покрытых асфальтом километров.

Решение

Пусть после n-ого дня асфальтом покрыто an километров дороги. Тогда по условию a1=1 и an+1=an+1/an. Возведем данное равенство в квадрат, получим: an+12 = an2+2+(1/an)2. Таким образом, an+12 > an2+2. Мы видим, что последовательность an2 возрастает на каждом шаге по крайней мере на 2. Отсюда следует, что a50012 > 2*5000 = 1002 и a5001 > 100. Таким образом, обязательство будет выполнено не позже, чем на 5001 день.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .