ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35213
Тема:    [ Геометрическая прогрессия ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что сумма первых n членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, равна S, а сумма обратных величин первых n членов этой прогрессии равна R. Найдите произведение первых n членов этой прогрессии.

Подсказка

Воспользуйтесь формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии; обратные величины к членам геометрической прогресии также образуют геометрическую прогрессию.

Решение

Обозначим через a первый член прогрессии, и через q - ее знаменатель. Тогда по формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии получаем, что S=a+aq+aq2+...+aqn-1 = a(qn-1)/(q-1). Обратные величины 1/a, 1/(aq), ... , 1/(aqn-1) к членам геометрической прогресии также образуют геометрическую прогрессию с первым членом 1/a и знаменателем 1/q. Отсюда R = 1/a+1/(aq)+1/(aq2)+...+1/(aqn-1) = 1/a(1/qn-1)/(1/q-1) = (1/(aqn-1))(qn-1)/(q-1). Из выражений, полученных для S и R, вытекает, что S/R = a2q(n-1). Произведение первых n членов прогрессии равно P = a(aq)(aq2)...(aqn-1) = anq1+2+...+(n-1) = anqn(n-1)/2. Возводя равенство S/R = a2q(n-1) в степень (n/2), получаем, что (S/R)n/2 = anqn(n-1)/2 = P.

Ответ

(S/R)n/2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .