ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35150
Тема:    [ Модуль числа ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решите уравнение |x-2|+|x-1|+|x|+|x+1|+|x+2|=6.

Подсказка

Число |x-a| равно расстоянию от точки числовой прямой с координатой x до точки с координатой a.

Решение

Рассмотрим на числовой прямой точку с координатой x. Сумма |x-2|+|x-1|+|x|+|x+1|+|x+2| равна сумме расстояний от точки x до точек с координатами 2, 1, 0, -1, -2. Заметим, что сумма расстояний от любой точки до точек A и B не меньше длины отрезка AB (и равенство достигается тогда и только тогда, когда точка расположена на отрезке AB). Отсюда получаем, что |x-2|+|x+2| не меньше 4, а |x-1|+|x+1| не меньше 2 при любом x. Поэтому для того, чтобы сумма |x-2|+|x-1|+|x|+|x+1|+|x+2| была равна 2+4=6, необходимо, чтобы |x|=0. Итак, x необходимо равен 0. Легко проверить, что значение x=0 действительно является решением данного уравнения.

Ответ

x=0.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .