Задача 35131

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

В прямоугольной таблице некоторые клетки отмечены: в них нарисованы звёздочки. Известно, что для любой отмеченной клетки количество звёздочек в её столбце совпадает с количеством звёздочек в её строке. Докажите, что число строк в таблице, в которых есть хоть одна звёздочка, равно числу столбцов таблицы, в которых есть хоть одна звёздочка.

Решение

Заменим каждую звёздочку числом  ¹/_k,  где k – количество звёздочек в ее строке (столбце). Тогда сумма чисел в каждой "непустой" строке равна 1, следовательно, сумма всех чисел в таблице равна числу "непустых" строк. Но, аналогично, она равна и числу непустых столбцов.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача