ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35104
Темы:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости проведено несколько прямых (не менее трех), никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что среди частей, на которые они разбивают плоскость, найдется хотя бы один треугольник.

Подсказка

Рассмотрите некоторую прямую и точку пересечения двух других прямых, расположенную ближе всего к выбранной прямой.

Решение

Рассмотрим некоторую прямую l и точку пересечения A двух других прямых k и m, расположенную ближе всего к выбранной прямой среди всех попарных точек пересечения данных прямых (отличных от l). Пусть прямые k и m пересекают прямую l в точках B и C соответственно. Докажем, что треугольник ABC является одной из частей, на которые плоскость разбита прямыми. Предположим противное. Тогда некоторая прямая из данного множества прямых пересекает треугольник ABC. Следовательно, эта прямая пересекает две стороны треугольника ABC, т.е. пересекает хотя бы одну из сторон AB, AC. Пусть K - точка пересечения этой прямой с одной из сторон AB, AC. Тогда расстояние от точки K до прямой l меньше расстояния от точки A до прямой l вопреки выбору точки A. Итак, найден искомый треугольник ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .