Условие
Один человек задумал 10 натуральных чисел -
x
1, x
2, ... , x
10. Другой отгадывает
их.
Разрешается задавать вопросы вида: "чему равна сумма
a
1x
1+a
2x
2+...+a
10x
10?",
где a
1, a
2, ... , a
10 - некоторые
натуральные числа. Как за 2 вопроса узнать все загаданные числа?
Подсказка
Первым вопросом мы узнаем, что все числа x
1, x
2,
... , x
10
меньше некоторой константы.
Решение
За первый вопрос узнаем значение выражения
x
1+x
2+...+x
10.
Пусть это значение равно С. Возьмем достаточно большое число n,
такое что 10
n>С.
Вторым вопросом узнаем значение выражения
x
1+10
nx
2+10
2nx
3+...+10
9nx
10.
Если значение этого выражения равно S,
то в десятичной записи числа S справа налево будут идти группы из
n цифр, дающие десятичные записи чисел
x
1, x
2, ... , x
10, возможно с
несколькими нулями спереди
(т.к. поскольку x
1, x
2, ... ,
x
10<10
n,
при сложении чисел
x
1,10
nx
2,10
2nx
3,...,10
9nx
10
в столбик переносов не возникнет).
Тем самым, мы однозначно определили загаданные числа за два
вопроса.
Источники и прецеденты использования
