Задача 35079

Темы:    [ Периодические и непериодические дроби ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.

Решение

Рациональные числа выражаются периодическими десятичными дробями. Предположим, что наша дробь периодическая: некоторая последовательность T, состоящая из n цифр, является периодом дроби начиная с m-го знака после запятой. Среди цифр после m-го знака встречаются ненулевые, поэтому в последовательности цифр T есть ненулевая цифра. Это означает, что начиная с m-й цифры после запятой, среди любых n цифр подряд есть ненулевая цифра. Однако в десятичной записи данной дроби должна присутствовать десятичная запись числа 10^k, где k больше m и n. Эта запись встретится правее m-й цифры и содержит более n нулей подряд. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача