|
|
 |
Условие
На какое наибольшее число частей могут разбить плоскость n окружностей?
Подсказка
Если k окружностей уже проведены, то (k+1)-я окружность разбивается ими не более чем на 2k дуг.
Решение
Одна окружность делит плоскость на две части. Пусть уже проведены k окружностей. Рассмотрим (k+1)-ю окружность. Она пересекает предыдущие k окружностей не более чем в 2k точках (каждую окружность – не более чем в двух точках). Следовательно, (k+1)-я окружность разбивается первыми k окружностями не более чем на 2k дуг. Каждая дуга делит одну из частей, на которые плоскость была разделена k окружностями, еще на две части. Тем самым, каждая дуга прибавляет одну часть плоскости, и (k1)-я окружность прибавляет не более 2k частей плоскости. Более того, (k+1)-я окружность прибавляет ровно 2k частей плоскости тогда и только тогда, когда она пересекает каждую из предыдущих окружностей в двух точках и все эти точки различны. Таким образом, n окружностей делят плоскость не более чем на 2 + (2 + 4 + 6 + ... + 2(n – 1)) = n(n – 1) + 2 части, причём равенство достигается, если каждая пара окружностей пересекается в двух точках и все эти точки пересечения различны (то есть никакие три окружности не проходят через одну точку).
Можно указать пример такой системы n окружностей: возьмём одну окружность, а все остальные получим из неё сдвигами на вектора a, 2a, ..., (n – 1)a, где a – достаточно малый по длине вектор (настолько малый, что первая и последняя окружности пересекаются в двух точках).
Ответ
На n(n – 1) + 2 части.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
