Задача 35011

Тема:    [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 2+ Классы: 9

Условие

Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O.
Докажите, что произведение площадей треугольников AOB и COD равно произведению площадей треугольников BOC и DOA.

Подсказка

Используйте формулу, выражающую площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

Решение

S_AOB = ½ OA·OB sin φ,  S_BOC = ½ OB·OC sin φ,  S_COD = ½ OC·OD sin φ,  S_DOA = ½ OD·OA sin φ,  где φ – угол между диагоналями. Значит,
S_AOBS_COD = ¼ OA·OB·OC·OD sin²φ = S_BOCS_DOA.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача