Условие
Докажите, что любой выпуклый
многоугольник площади 1 можно поместить в прямоугольник
площади 2.
Подсказка
Можно выбрать нужный прямоугольник, у которого пара сторон
параллельна диаметру многоугольника (диаметр -
отрезок, соединяющий две наиболее удаленные вершины
многоугольника).
Решение
Рассмотрим две вершины многоугольника - A и B, расстояние между
которыми
максимально среди попарных расстояний между вершинами
многоугольника (отрезок AB называется диаметром многоугольника).
Проведем через точки A и B прямые a и b, перпендикулярные
отрезку AB. Весь многоугольник содержится внутри
полосы, заключенной между прямыми a и b.
В самом деле, если бы некоторая вершина многоугольника
лежала вне этой полосы, то расстояние от этой вершины до одной из
точек A, B, было бы больше длины отрезка AB
вопреки выбору вершин A и B.
Далее, заключим многоугольник внутрь наменьшей возможной полосы,
образованной некоторыми прямыми c и d, параллельными отрезку AB.
В разультате некоторые вершины C и D многоугольника
оказались на прямых c и d, и весь многоугольник
лежит внутри прямоугольника П, образованного прямыми a, b, c, d.
Покажем, что площадь этого прямоугольника не больше 2.
Четырехугольник ACBD лежит внутри многоугольника, поэтому
его площадь не больше 1.
С другой стороны, прямоугольник П состоит из
двух прямоугольников П
1 и П
2,
первый из которых образован
отрезком AB и прямыми a, b, c,
а второй образован
отрезком AB и прямыми a, b, d.
Площадь прямоугольника П
1 в 2 раза больше площади
треугольника ABC, и аналогично,
площадь прямоугольника П
2 в 2 раза больше площади
треугольника ABD.
Отсюда следует, что площадь прямоугольника П
в 2 раза больше площади четырехугольника ACBD, т.е. не превосходит 2.
Источники и прецеденты использования
