ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34998
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Натуральный ряд 1, 2, 3, ... разбит на несколько (конечное число) арифметических прогрессий.
Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на разность.


Подсказка

Можно рассмотреть прогрессию, в которую входит число, равное произведению разностей всех прогрессий.


Решение

Обозначим через a1, a2, ..., an первые члены прогрессий, на которые разбит натуральный ряд, через d1, d2, ..., dn – их разности. Произведение всех разностей d1d2...dn входит в одну из прогрессий (пусть i – номер этой прогрессии). Это означает, что для некоторого целого неотрицательного k выполнено равенство d1d2...dn = ai + kdi.  Из этого равенства следует, что ai делится на di.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .