Задача 34979

Темы:    [ Средние величины ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Условие

Имеется набор натуральных чисел (известно, что чисел не меньше семи), причём сумма каждых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из набора равна 100. Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе?

Решение

  Набор из 50 чисел, каждое из которых равно 2, удовлетворяет условию.
  Если в наборе не более 49 чисел, то их можно разбить на 7 групп так, что в каждой группе будет содержаться 7 или меньше чисел. По условию сумма чисел в каждой группе меньше 15, то есть не больше 14. Следовательно, сумма чисел во всех семи группах не больше  7·14 = 98,  что меньше 100. Противоречие.

Ответ

50 чисел.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача