ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34971
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все целые решения уравнения  yk = x² + x,  где k – фиксированное натуральное число, большее 1.


Подсказка

Разложите правую часть на множители и используйте взаимную простоту этих множителей.


Решение

yk = x(x + 1).  Числа x и  x + 1  взаимно просты, поэтому x и  x + 1  являются k-ми степенями целых чисел. Ясно, что имеется ровно две пары последовательных целых чисел, являющихся k-ми степенями при  k > 1  –  (–1, 0)  и  (0, 1).  Таким образом, x может принимать только два значения: 0 и –1. Остается проверить, что оба эти значения подходят и в обоих случаях  y = 0.


Ответ

(0, 0)  и  (–1, 0).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .