Задача 34928

Темы:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Дан прямоугольник 100×101, разбитый линиями сетки на единичные квадратики. Найдите число отрезков, на которое линии сетки разбивают его диагональ.

Подсказка

Каждая горизонтальная и каждая вертикальная линия сетки пересекает диагональ в некоторой точке.

Решение

  Каждая из 100 горизонтальных и каждая из 99 вертикальных линий сетки, идущих внутри прямоугольника, пересекает диагональ в некоторой точке. Для удобства введём систему координат так, чтобы начало координат совпадало с одной из вершин прямоугольника. Диагональ соединяет начало координат с точкой  (100, 101).  Если бы нашлись горизонтальная и вертикальная линии сетки, пересекающие диагональ в одной точке, то эта точка лежала бы на диагонали и имела бы целые координаты  (a, b).  Но тогда  ^b/_a = ¹⁰¹/₁₀₀,  а это невозможно, поскольку  0 < a < 100,  0 < b < 101  и дробь ¹⁰¹/₁₀₀ несократима.   Следовательно, все точки пересечения горизонтальных и вертикальных линий сетки с диагональю различны, а 199 точек делят диагональ на 200 отрезков.

Ответ

200 отрезков.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача